Doğru Parçası Paradoksu ........ 2+ ?............. Cantor Paradoksu.............. Karışım Paradoksu........... Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu........... Karışık Bir Hesap............... Hempel Paradoksu................... Arnauld Paradoksu................ Berber Paradoksu................. Russel Paradoksu
Doğru Parçası Paradoksu: Önce doğru parçasının tarifini yapalım: Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir? Nokta: Kalemin kâğıda biriktiği en küçük iz veya belirti. Malumdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks başlıyor: Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yanana gelmesi birse ifade etmez.
100 nokta veya 1 milyar nokta da yanana geldiğinde herhangi bir sekil oluşturmaz. (Çünkü sekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu suna benzer ki; sifi ile sefirin toplamı yine sefirdir. Milyarlarca sefiri toplasak 'yârim' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yanana gelmesi birse ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.
Noktayı boyutlu kabul edelim. Karsımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanana gelirse sonsuz uzunluk olur.
2+ ?
X = Y ................................................olsun
X² = X.Y............................................eşitliğin her iki tarafını 'X' ile çarptık.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çıkardık.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadeleşti.
X + X = X..........................................X = Y olduğundan,
2.X = X..............................................'X'leri topladık.
2 = 1 ................................................'X'ler sadeleşti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4..................................................buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' seklinde yazdık.
Hata nerede?
Cantor Paradoksu: George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayısı, asil kümeden daha fazladır. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir? "Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani;
2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan sunu yazabiliriz:
card(2ª) card(a)................1
Çünkü alt kümelerin kardinali asil kümelerden küçüktür veya eşittir. Ancak Cantor Teoremine göre:
card(2ª) > card(a)...................2
olmalidir. 1 ve 2 çelismektedir.
Karışım Paradoksu: Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz.
Şimdi sorumuz geliyor: Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?
Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya;
İlk karışık homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90’ını kahve, % 10’unu süt kabul edelim. Sütün % 90’ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.
Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu:
a ve b birbirinden farkli herhangi iki tamsayi ve c de bunlarin farki olsun:
(a-b)(a-b).(a-b)..............................her iki tarafi (a-b) ile çarptik.
a²-2ab+b²-bc...............................parantezleri açtik.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attik.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sag tarafa attik.
a²-bc-b².............................2ab nin birini sag tarafa geçirdik.
a(a-b-c)(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldik.
....................................................(a-b-c) ler sadelesti. (2+ Paradoksunun benzeri)
Karışık Bir Hesap: İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. (Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:
-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10) TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?
1 kg = 1 ton ¿?
1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)
(1) ve (2) çarpılırsa:
2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayısı ile,
1 kg = 1 ton
Hempel Paradoksu:
Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"
Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tespit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek.
Bilinen su ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı" da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" in itibarini sarsmıştır.
Arnauld Paradoksu:
Herkes bilir ki;
(Büyük Sayı / Küçük Sayı) ¹ (Küçük Sayı / Büyük Sayı) dir.
(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi
Ancak negatif sayılar bu kuralı bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)
Ayrıca;
(Büyük Sayi / Küçük Sayi) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi
Yine negatif sayılar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1
Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantıksız geldiği için negatif sayıların olmadığına hükmetti.
Berber Paradoksu:
Klasik paradokslardan biri daha… Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini tras edemeyen erkekleri tras ediyor. Berberi kim tras edecek?
Kendi kendine tras olsa; kendisini tras edebildiği için tanıma ters düşecek. Başkası tras etse; o kişi kendi kendine de tras olabiliyor demektir. (Bakınız Russel Paradoksu)
Russel Paradoksu: 1970 yilinda 98 yaşında ölen Bertrand Russel'in çok bilinen paradoksu:
"Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç kişiyiz?" Cevap:
"Bir kişiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda papayım"
Russel'in "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çeşit küme var:
a) Kendisinin elemanı olan (ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elamanı olmayan kümeler.
Şimdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemanı mıdır?
NOT: http://akifaltundal.net/tur/content/view/389/344/
